Анализ колебательных систем предполагает написание дифференциальных уравнений движения, определение собственных частот и форм колебаний. Известны некоторые приемы для упрощения математических моделей колебательных систем [1-5], в частности, иногда целесообразно представить систему дифференциальных уравнений в главных координатах, когда связи между координатами, описывающими положение механической системы, отсутствуют. Но разделение колебательного движения в главных координатах является недостаточным. С нашей точки зрения, целесообразно провести разделение колебательных движений в исходных координатах, сделав их тем самым главными. Для этого в колебательную систему следует ввести упругий элемент с отрицательной жесткостью. Такой пример известен в литературе, когда в качестве этого элемента вводится двухопорная балка- рессора, работающая на поперечный изгиб при одновременном сжатии ее осевой сверхкритической силой [6-11]. Мы обобщаем и развиваем этот подход, причем не только в плане виртуальной модели, но и физической, в реальном исполнении. При этом определяются абсолютная величина жесткости вводимых элементов и координаты присоединения их к системе. Таким образом, можно возбуждать и наблюдать гармонические независимые колебания отдельно по каждой координате или по обеим одновременно.

 

 

В качестве обобщенных координат возьмем координату y, определяющую вертикальное перемещение центра тяжести и угол поворота θ вокруг центра тяжести, отсчитываемых от равновесного положения системы. Первоначально виброизоляция системы предусматривается с помощью двух упругих элементов пружинами с жесткостью с₁ и с₂, закрепленными как показано на рис.1.

 

Кинетическая энергия системы будет равна

 

 (1)

 

 

 

где m – масса системы, J – момент инерции системы относительно центра масс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потенциальная энергия системы:

 

  (2)

 

Согласно теории колебаний коэффициенты инерции и жесткости в этой системе равны:

 

  (3)

 

Найдем собственные частоты:

 

    (4),

 

 

 

где

 

  (5)

 

Дифференциальные уравнения движения системы при возбуждении по координате θ моментом М₀  для вынужденных колебаний имеют вид:

 

 (6)

 

 

 

 

Для устойчивости движения системы необходимо, чтобы частоты k_1,2 были вещественными числами [12-15]. Это означает, что k_1,2 ² должно быть числом, во-первых, вещественным и, во-вторых, – положительным. Условие вещественности k_1,2 ²:

 

S² ≥ 4Q (7)

 

а условие положительности

 

Q ≥ 0  (8)

 

Из условия (8) следует:

 

c₁ > 0 , c₂ > 0 (9)

 

Условие (7) требует, чтобы ,

 

 (9)

 

 

 

 

которое всегда выполняется, так как a₁₁ * a₂₂  0.

 

Зададим параметры системы: m=4000 кг, c₁=2400000 Н/м , c₂=800000 Н/м, a=0,2 м, b=0,9 м, J=1000 кг·м², М₀=5000 Н·м

 

В этом случае собственные частоты будут равны: k₁=25,47 c-1, k₂=29,92 c-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Под действием возмущающего момента M=M_{0 cospt}, в системе изменяется и линейная так и угловая координаты одновременно (рис.2).

 

Поставим задачу разделить колебательные движения по этим двум координатам. Введем в систему дополнительный упругий элемент жесткостью c3 с координатой точки крепления d (рис.1).

 

Потребуем, чтобы выполнялось следующее условие c₂b - c₁a + c₃d = 0 (10)

 

Очевидно, что в этом случае потенциальная энергия примет вид:

 

 (11)

 

Уравнения движения станут независимыми с частотами

 

 (12)

 

Из (12) видно, чтобы уменьшить частоты k₁ и k₂ для повышения эффективности виброизоляции необходимо жесткость третьего упругого элемента взять отрицательной. Так, если взять c₃=-400000 Н/м, то из (10) получим d=0,6 м. В этом случае тело получает только крутильные колебания вокруг центра масс, перемещения по координате y не будет. Амплитудно-частотная характеристика имеет вид (рис. 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После введения дополнительного упругого элемента с отрицательной жесткостью собственные частоты станут равными:

k₁=24,498 c^-1, k₂=26,46 c^-1.

 

То есть интервал между независимыми частотами, также как наибольшая из них уменьшаются, что улучшает характеристики виброзащиты, так как увеличивается диапазон безрезонансного изменения частоты возмущаемого воздействия. Разделение движений позволяет возбуждать и наблюдать гармонические независимые колебания по каждой координате. Если же сделать частоты независимыми, не добавляя третий упругий элемент, а полагая, что a·c₁-c₂·b=0, то при тех же значениях b, c₁, c₂·приходится увеличить габарит a до 0,3 м и возрастет также наибольшая из частот, диапазон частот сдвинется вправо, что ухудшит виброзащиту системы. Заметим, что предложенный способ улучшения виброзащиты мы применили и для системы с 3-мя степенями свободы.

 

 

На примере дизель-генератора, как системы с 2-мя степенями свободы, показано, что введением в нее упругого элемента с отрицательной жесткостью получены следующие результаты:

• обобщенные координаты можно сделать главными, а значит, колебательное движение по двум координатам разделяется. Это позволяет отдельно возбуждать и наблюдать независимые гармонические колебания по каждой координате;
• интервал между независимыми частотами, также как наибольшая из них уменьшаются, что улучшает виброзащиту системы, так как увеличивается диапазон безрезонансных частот возмущаемого воздействия;
• достигнутые результаты получены без увеличения металлоемкости конструкции.